حجم هرم و مخروط

این فرمول اغلب نقل, اما به ندرت ثابت. در این مقاله فرمولهای مربوط به حجم هرم مربع و مخروط را با استفاده از مفاهیم نسبتا ساده ریاضی استخراج می کنیم.

(ایده های مورد استفاده در این مقاله نیز استفاده می شود

چون ما می دانیم که حجم مکعب است \یک \ بار در \بار یک = یک^3$, نتیجه می گیرد که حجم هر یک از این یانگما است. \کسر$.

بزرگنمایی

برای لحظه ای مکعبی با لبه هایی به طول 1 واحد را در نظر بگیرید. شما می دانید که حجم است 1 1 \بار 1 \بار 1$. طوری که اقدامات توسط 1 توسط 1 در حال حاضر که مکعب در جهت افقی کشش. یک \بار 1 \بار 1$. اگر ما تصور مکعب قطعه قطعه به صورت افقی, وجود خواهد داشت به همان تعداد از برش, اما هر خواهد بود یک بار به عنوان طولانی.

اگر مکعب را در جهت عمود کش دهیم تا اندازه گیری شود الف توسط ب توسط 1, حجم خواهد بود \یک بار ب \بار 1 times یا b ب times بار بزرگتر. اگر ما کشش مکعب در جهت عمود سوم, توسط یک عامل مقیاس c ج$, حجم خواهد بود \یک \بار ب \ بار ج\, که ما می دانیم به عنوان فرمول برای حجم یک مکعب.

سه جهت مستقل وجود دارد که می توانیم شکل 3 بعدی را بزرگ کنیم. اگر ما را با یک عامل مقیاس بزرگ k ک $در یکی از این جهت, حجم خواهد بود$ ک times بار به عنوان بزرگ.

بازگشت به یانگما ما:

فرض کنید ما می خواهیم حجم یک یانگما که ارتفاع به طول پایه های مختلف است, شاید ارتفاع height ساعت $به جای یک.

عامل مقیاس? اگر ما در حال تبدیل $a$ به $h$ ما ضرب $\frac$. بنابراین حجم یانگمای جدید ما \\فراک \بار / کسر is یا \ \ کسر is است.

کشویی برش ها

ما در حال حاضر یک فرمول برای حجم هر هرم مبتنی بر مربع که راس بالاتر از یکی از راس از پایه. چه در مورد اگر راس است در جایی دیگر-وسط, برای مثال? کاری که ما می خواهیم انجام دهیم این است که تصور کنیم هرم به صورت افقی به تعداد زیادی برش بریده شده است. ما می رویم به اسلاید این برش در سراسر, به طوری که بالای هرم است بالاتر از وسط پایه.

اگر ما یک تعداد نامحدود از برش حال, هرم ما لبه های راست خوب داشته. احتمالا می توانید تصور کنید که با برش های بیشتر نرمتر از این تصویر به نظر می رسد. است این منطقه از هر یک از برش تغییر? بنابراین حجم شکل تغییر?

اکنون می توانیم ببینیم که حجم هر هرم مبتنی بر مربع is\کسر is است.

مقایسه مخروط با هرم

اکنون به یک مخروط نگاه خواهیم کرد. ما با یک مخروط راست شروع می کنیم که راس بالای مرکز پایه است. در واقع با برش دادن مانند قسمت قبل می توان نشان داد که همین فرمول برای هر مخروطی صدق می کند.

مخروطی را تصور کنید که پایه اش شعاع دایره ای است و ارتفاع h ساعت h. این مخروط دقیقا در داخل یک هرم مربع شکل با طول پایه-2 درجه سانتیگراد-و ارتفاع-ساعت-قرار می گیرد.

فرض کنید ما یک تکه از هرم را با مخروط در داخل از برخی از راه هرم می گیریم. این مانند یک مربع با یک دایره در داخل به نظر می رسد. ما در این نقطه شعاع مخروط را نمیدانیم پس اسمش را میگذاریم x ایکس..

مساحت مربع 2 برابر بر 2 برابر=4 برابر^2 دلار است.

نسبت دایره به مربع است \ \ پی : 4$.

همین امر برای هر برشی که می گیریم صادق است: مساحت دایره \ \ کسر است<\pi>$ از مساحت میدان.

بنابراین, اگر هر برش است \ \ کسری<\pi>\اندازه, حجم مخروط خواهد بود \ \ کسر<\pi>volume حجم هرم.

حجم هرم است \ \ کسر = \کسر =

بنابراین حجم مخروط \ \ کسر است<\pi>\بار \فراک = \فراک<\pi r^2 h>$.

اهرام غیر مربع شکل

برای یافتن حجم هر هرم می توانیم از همان اصول استفاده کنیم.

هرم مبتنی بر مستطیل

اگر ما دارای یک هرم با پایه مستطیل شکل گیری $a$ به $b$ و ارتفاع $h$ و سپس این می تواند به دست آمده توسط کشش ما مربع-بر اساس هرم توسط فاکتور مقیاس $\frac$. حجم جدید خواهد بود \ \ فراک \بار \فراک = \فراک=.

هرم مبتنی بر مثلث

اگر پایه هرم مثلثی با پایه-الف-و ارتفاع عمود-ب-باشد دقیقا در هرم مستطیل شکل بالا قرار می گیرد.

هر برش به این شکل خواهد بود:

اگر چه ما نمی دانیم که اندازه گیری مستطیل در این تکه, دو طرف هنوز هم در نسبت باشد a یک:ب ((این ممکن است برخی از تفکر در مورد را). اجازه دهید آنها تماس بگیرید $k$ و $k$ (جایی که $k$ کمتر از 1).

اگر هر مثلث نصف اندازه مستطیل باشد حجم هرم مبتنی بر مثلث نصف حجم هرم مبتنی بر مستطیل یا 6 اه/6$خواهد بود.

تعمیم

فرمول حجم هر هرم is\کسر است<1>\مگابایت \بار \مگابایت$. بررسی کنید که این برای اهرام بالا (و در واقع برای مخروط) کار می کند. می توانید خود را متقاعد کنید که این همیشه درست است?

هدف این پروژه غنی سازی تجربیات ریاضی همه فراگیران است. برای حمایت از این هدف, اعضای تیم ملی در طیف گسترده ای از ظرفیت کار, از جمله فراهم کردن توسعه حرفه ای برای معلمان که مایل به جاسازی وظایف غنی ریاضی به عمل کلاس درس روزمره.